课程源自B站“湖科大教学匠”的《计算机组成微课堂》 https://www.bilibili.com/video/BV1qG41197E4/?share_source=copy_web&vd_source=440fb90b593ac5ecf9b12f264d73b53b
BV1qG41197E4

1.1 计算机系统的组成

计算机系统分为 硬件 和 软件

其中，硬件包括 主机 和 外设

软件包括 系统软件 和 应用软件

计算机系统性能的好坏，取决于硬件和软件功能的总和

1.2 计算机的发展

第一台真正意义上的电子数字计算机 ：ABC

第一台实用的电子数字计算机 ：ENIAC

计算机硬件的发展 ：电子管计算机 -> 晶体管计算机 -> 集成电路计算机 -> 超大规模集成电路

计算机软件的发展 ：机器语言 -> 汇编语言 -> 高级语言 -> 面向对象

1.3 计算机硬件

冯诺依曼计算机主要特点 ：

1. 构成程序的指令和数据均采用 二进制 表示
2. 指令和数据存放在存储器 中，按地址访问
3. 指令 在存储器中 按顺序存放 ，一般情况下，指令是 顺序执行 的
4. 指令由 操作码 和 地址码 组成
5. 机器 以运算器为中心 ，输入输出设备与存储器间的数据传送通过运算器完成
6. 计算器硬件由 运算器、控制器、存储器、输入输出设备 组成

其中，存储器分为 主存储器 和 辅助存储器

主存储器：用于存放程序和数据，可以 直接与CPU交换信息 ，又称为内存储器，简称内存或主存。

辅助存储器：用于帮助主存存储更多的信息。又称外部存储器，简称为外存或辅存。 储存中的信息必须调入主存后，才能被CPU访问 。

运算器 的核心为 算术逻辑单元ALU ，主要功能有算术运算和逻辑运算。

1.4 计算机软件

分为 系统软件 和 应用软件

计算器软件的发展：

1. 用机器语言编程

   使用 机器指令的二进制编码 编写程序

   编程繁琐，易出错且不易排错

   计算机可以直接识别和执行

2. 用汇编语言编程

   使用 表示机器指令的特殊符号 编写程序

   相比于用机器语言编写，汇编语言这种符号语言简单直观，便于记忆

   计算机不能识别和执行 用汇编语言编写的程序，须通过汇编器翻译成机器语言程序

3. 用高级语言编程

   使用 规定好的一套基本符号和编程规则

   直观通用， 与具体机器无关

   计算机不能识别和执行 用高级语言编写的程序，须通过编译器翻译成汇编语言或机器语言

将高级语言程序转换成可执行目标程序的主要过程：

预处理 -> 编译 -> 汇编 -> 链接

随着硬件和软件的不断发展，人们又创造出了一类程序，称为 操作系统

操作系统提供了在 汇编语言和高级语言的使用和实现过程中所需的某些基本操作 。

操作系统负责 控制并管理计算机系统全部硬件资源 （例如CPU、内存和外部设备）和 软件资源 （例如编译程序、应用程序等）。

1.5 计算机系统的层次结构

1.6 计算机的基本工作原理

运算器

• ACC 表示累加器
  (ACC)表示累加器中的内容
• MQ 表示乘商寄存器
  (MQ)表示乘商寄存器中的内容
• X 表示操作数寄存器
  (X)表示操作数寄存器中的内容
• M表示主存储器中某个存储单元的地址
  (M)表示地址为M的存储单元中的内容

加法操作过程：

1. (M)→X
   取出存放在主存中地址为M的存储单元中的内容(M)（加数），送到操作数寄存器X中
2. (ACC) + (X) → ACC
   将累加器ACC中的内容(ACC)（被加数）与操作数寄存器X中的内容(X)（加数）相加，结果（和）保留在累加器ACC中

减法操作过程：

1. (M)→X
   取出存放在主存中地址为M的存储单元中的内容(M)（减数），送到操作数寄存器X中
2. (ACC) - (X) → ACC
   将累加器ACC中的内容(ACC)（被减数）与操作数寄存器X中的内容(X)（减数）相减，结果（差）保留在累加器ACC中

乘法操作过程：

1. (M)→MQ
   取出存放在主存中地址为M的存储单元中的内容(M)（乘数），送到乘商寄存器MQ中
2. (ACC)→X
   将累加器ACC中的内容(ACC)（被乘数），送到操作数寄存器X中
3. (X) × (MQ)→ACC // MQ
   将操作数寄存器X中的内容(X)（被乘数）与乘商寄存器MQ中的内容(MQ)（乘数）相乘，结果（积）的高位保留在累加器ACC中，低位保留在乘商寄存器MQ中

除法操作过程：

1. (M)→X
   取出存放在主存中地址为M的存储单元中的内容(M)（除数），送到操作数寄存器X中

2. (ACC) ÷ (X) → MQ
   将累加器ACC中的内容(ACC)（被除数）除以操作数寄存器X中的内容(X)（除数），结果（商）保留在乘商寄存器MQ中，余数保留在累加器ACC中。

存储器

存储体 由很多个 存储单元 组成

每个 存储单元 由若个 存储元件 组成

每个存储元件能存储一位 二进制数"0"或"1"

一个存储单元中可存储一串二进制信息，称这串二进制信息为一个 存储字 ，这串 二进制信息的位数 称为 存储字长

给每个存储单元都赋予一个编号，称为 存储单元的地址

存储器 地址寄存器 MAR ，用来 存放欲访问的存储单元的地址

MAR的位数 ，决定了 存储单元的数量

存储器 数据寄存器MDR ，用来 存放从存储体的某个存储单元取出的信息或者准备往某个存储单元存入的信息

MDR的位数（长度） ，与 存储字长相等 。

主存（内存）的这种按存储单元的地址来实现对其写入和读取的存取操作，需要在CPU中的控制器的控制下进行。

控制器

控制器是计算机的神经中枢，由它指挥各部件自动、协调地工作。

1. 控制从主存中读取一条指令，称为 取指 过程（阶段）。
2. 对指令进行分析，指出该指令要完成何种操作，并按寻址特征指明操作数的地址，称为 分析 过程（阶段）。
3. 根据指令的操作码和操作数所在的地址完成某种操作，称为 执行 过程（阶段）。

程序计数器PC 用来 存放当前欲执行指令的地址

1. PC与MAR 之间有一条直接通路。

2. PC自动形成 下一条指令的地址 “自动加1”功能）

指令寄存器IR 用来存放当前的指令

1. IR的内容来自MDR。

2. IR中的 操作码 （用OP(IR)表示）会送至CU（用 OP(IR)→CU 表示），用来 分析指令 。

3. IR中的 地址码 （用Ad(IR)表示）作为操作数的地址送至MAR（用 Ad(IR)→MAR 表示），用来 从内存中取操作数 。

控制单元CU 用来 分析当前指令所需完成的操作，并发出各种微操作命令序列 ，用以控制所有被控对象。

机器指令简介

计算机的基本工作原理

初始化：(PC)=0，指向内存中的编号为0的存储单元，该存储单元的内容是第一条机器指令

对第一条指令进行 取指 ：

1. 控制器将PC的内容送至内存的MAR（用(PC)→MAR表示）对内存进行寻址，并命令内存做读操作，此时所寻址的存储单元（0号存储单元）的内容“0000010000010101”被送入MDR内。
2. 将MDR的内容传送至控制器的IR（用(MDR)→IR表示）。

接下来，程序计数器PC中的值从0自动增加到了1，在完成对第一条指令的取指操作后，对该指令进行 分析

对第一条指令进行 执行 ：

1. 将IR中保存的指令的地址码送至MAR（用Ad(IR)→MAR）对内存进行寻址，并命令内存做读操作，此时所寻址的存储单元（“0000000101”号存储单元，即5号存储单元）的内容“a”被送入MDR内。
2. 将MDR的内容传送至运算器的ACC（用(MDR)→ACC表示）。

例题

【习题3】存放当前指令的寄存器是（C）。

A. PC B. MDR C. IR D. MAR

【习题4】用来存放当前欲执行指令的地址的寄存器是（B）。

A. IR B. PC C. MAR D. CU

解析：

• 指令寄存器IR用来存放 当前的指令
  • IR的内容来自存储器数据寄存器MDR。
• 程序计数器PC用来存放 当前欲执行指令的地址
  • PC与存储器地址寄存器MAR之间有一条直接通路。
  • PC自动形成下一条指令的地址（“自动加1”功能）

【习题7】若存储字长为8位，MAR的位数为16位，则存储体的总容量为（B）。

A.128B B.64KB C.128KB D.256KB

解析：

2.1 数据表示的相关基本概念

数字分类：

• 无符号数：3238264832
• 有符号数：-1056702464（整数）、-0.491943359375（纯小数）、-8.25（带小数）

数字表示方式：

• 整数：小数点位置固定
• 纯小数：小数点位置固定
• 定点数：小数点位置固定
• 浮点数：小数点位置浮动

2.2 进位计数制及其数据之间的相互转换

常用的进位计数制有十进制、二进制、八进制、十六进制

任意进制->十进制

常用进制数对照表

二进制->其他进制

3位二进制数 ↔ 1位八进制数

举例：

• 二进制：$(1011001100.11011)_2$
• 转换为八进制：$(1314.66)_8$

转换过程：

• 将二进制数按每 三位一组 进行分组：

  小数部分：110 110（后面少位则补零）

  整数部分：001 011 001 100（前面少位则补零）

4位二进制数 ↔ 1位十六进制数

举例：

• 二进制：$(1011001100.11011)_2$
• 转换为十六进制：$(2CC.D8)_{16}$

转换过程：

• 将二进制数按每 四位一组 进行分组：

  小数部分：1101 1000

  整数部分：0010 1100 1100

十进制->任意进制

2.3.1 原码

符号位 ，值为 0表示正数，1表示负数

数值位 (二进制)，为真值的绝对值

原码表示又称为 带符号的绝对值表示

定点整数的原码定义

假设真值 x 为 定点整数 ，n 为 x 的原码表示中数值位的位数（比特数量）：

$[x]_原 = \begin{cases} 0 & \text{} 0 \leq x<2^n \\ 2^n + |x| &\text{} -2^n<x \leq 0 \end{cases}$

假设真值 $x= −b_1b_2b_3b_4$，$n=4$，x的原码表示中符号位为 $b_4$（其位权值为 24）。

$[x]_原$ = 24 + | $−b_1b_2b_3b_4$ | = $24 + b_1b_2b_3b_4$ = 10000 + $b_1b_2b_3b_4$ = 1, $b_1b_2b_3b_4$

举例：

x = +1110 则 $[x]_原 = 0,1110$

x = -1110 则 $[x]_原 = 2^4 + |-1110| = 2^4 + 1110 = 10000 + 1110 = 11110$

须注意 第一位的1是负数 的含义

定点小数的原码定义

假设真值x为定点小数：

$[x]_原 = \begin{cases} x & \text{ } x \leq 0 < 1 \\ 1 + |x| & \text{} -1 < x \leq 0 \end{cases}$

举例：

x = +0.1101 则$[x]_原 = 0.1101$

x = -0.1101 则$[x]_原 = 1 + |-0.1101| = 1 + 0.1101 = 1.1101$

原码的特点

原码在计算机中目前仅仅用于表示浮点数的尾码

优点：

• 表示方法简单直观

缺点：

• 真值0 在原码中 有两种不同的表示

• $[x]_原= \begin {cases} 1,0000000 & \text{} x = -0 \\ 0,0000000 & \text{} x = +0 \end {cases}$

• 符号位不能直接参与运算

2.3.2 补码

将补数的概念应用到计算机内部，便出现了补码这种机器码（机器数）。

• 正数的补码：符号位为0，数值位是它本身。
• 负数的补码：等于 模数加上该负数本身 ，而模数就是最高位进位的位权值。

补数

• 模的概念

  • 模 （或称模数）是一个数值计量系统的 计量范围 ，记作mod或M。
  • 只要确定了“模”，就可找到一个 与负数等价的正数 来代替此负数，该正数就是负数的 补数 。
  • 超过计量范围的数都应该自动舍弃模数 。

• 补数的特点

  • 一个负数可用它的正补数来替代，而这个正补数可以用 模数加上负数本身 求得。
  • 一个正数和一个负数 互为补数时，它们的绝对值之和即为模数 。
  • 正数的补数即该正数本身 。

• 寻找一个负数的正补数的意义

  • 把减法运算用加法实现
  • 符号位也可以直接参与运算

举例：设 A = 9 , B = 5 , 求 A - B , (mod 12)

作加法运算：A - B = $[A]_补$ + $[-B]_补$ = $[9]_补$ + $[-5]_补$ = 9 + (模数 + (-5)) = 9 + (12 + (-5)) = 16 = 4

定点整数的补码定义

假设真值$x$为定点指数，$n$为$x$的补码表示中首位位的位数（比特数），$n$为$x$的补码表示中数值位的位数（比特数），加上1个符号位，$x$的补码表示共有 $n+1$ 位，最低位的位权值为 $2^0$ ，而最高位（符号位）的位权数为 $2^n$ ，因此最高位进位的位权值为值为 $2^{n+1}$ ，即 模数为 $2^{n+1}$ 。

$[x]_补= \begin {cases} 0,x & \text{} 0 \leq x<2^n \\ 2^{n+1}+x & \text{} -2^n \leq x<0 \end {cases}$

【举例】 某计算机的字长为8位，真值为定点整数 $(-10101)_2$， 求$[-x]_补$。

模数为 2⁸ , $[x]_补 = 2^8 + (-10101) = 100000000 - 10101 = 1,1101011$

定点小数的补码定义

假设真值$x$为定点小数（纯小数），小数点在左侧的位为最高位（符号位），其位权值为 $2^{0}$ ，而最高位进位的位权值为$2^1$，即 模数为$2^1=2$ 。

$[x]_补= \begin {cases} x & \text{} 0 \leq x<1 \\ 2+x & \text{} -1 \leq x<0 \end {cases}$

【举例】

$x = +0.0101$ $[x]_补 = 0.0101$

$x=-0.0101$ $[x]_补 = 2+(-0.0101)=10.0000-0.0101=1.1011$

现代计算机中多采用IEEE 754标准表示浮点数，而其中的 定点小数采用原码表示 ，因此通常 不会涉及设计定点小数的补码表示 。

补码的特点

目前计算机中普遍采用补码表示有符号定点整数，例如C语言中char,short,int,long型整数都是采用补码进行表示的。

优点：

• 补码表示方法使得减法运算可以转换成加法运算。
• 真值0在补码中只有一种表示，这使得补码比原码多表示一个最小负数。
• 符号位可以直接参与运算，运算时符号位的进位作为模会被自动舍弃。

缺点：

• 补码的表示相对原码更加复杂
  • 原码的数值位与真值的绝对值相同。因此，通过原码可以很容易地得出真值。但是，补码就没有这么简单了。

2.3.3 反码

反码通常用来作为有原码求补码或者由补码求原码的 中间过渡

• 正数的反码：符号位为0，数值位就是它本身。
• 负数的反码：符号位为1，数值位就是真值数值位取反。

原码->反码->补码

原码的符号位不变，数值位取反，之后末位加一

定点整数的反码定义

假设真值$x$位定点整数，$n$为$x$的反码表示中数值位的位数（比特数量）。

$[x]_反= \begin{cases} 0,x & 0 \leq x<2^n \\ (2^{n+1}-1)+x & -2^n<x \leq 0 \end{cases}$

【举例】

$x=+1101$ $[x]_反=0,1101$

$x=-1111$ $[x]_反 =2^{4+1}-1+(-1111)=2^5-1-1111=100000-1-1111=1,0000$

定点小数的反码定义

假设真值$x$为定点小数，$n$为$x$的反码表示中数值位的位数（比特数量）。

$[x]_反= \begin{cases} x & 0 \leq x < 1 \\ [x]_补-2^{-n} & -1<x\leq 0 \end{cases}$

【举例】

$x=+0.1101$ $[x]_反=0.1101$

$x=-0.1111$ $[x]_反=2-2^{-4}+(-0.1111)=10.0000-0.0001-0.1111=1.0000$

【练习】

$x=+0.0000$ $[x]_反=0.0000$

$x=-0.0000$ $[x]_反=2-2^{-4}+(-0.0000)=10.0000-0.0001-0.0000=1.1111$

反码的特点

反码在计算机中目前很少被使用

优点：

• 符号位可以参与运算

缺点：

• 最高位（符号位）产生的进位要加到运算结果的低位（循环进位）
• 真值0在反码中由两种不同的表示

2.3.4 移码

移码就是在 **真值上加一个常数$2^n$ **

• 在数轴上，移码所表示的范围对应于真值在数轴上的范围 向轴的正方向移动$2^n$个单元
• 移码 只用于定点整数 的表示

移码定义

假设真值$x$为定点整数，$n$ 为 $x$ 的移码表示中数值位的位数（比特数量）

$[x]_移= \begin{cases} x+2^n & -2^n \leq x<2^n \end{cases}$

【举例】

$x=+1010110$ $[x]_移=+1010110+2^7=+1010110+10000000=1,1010110$

$x=-1010110$ $[x]_移=-1010110+2^7=-1010110+10000000=0,0101010$

移码的特点

优点；

• 真值0 在移码中只有 一种表示 。
• 移码保持了 真值原有的大小顺序 ，可以直接比较大小。
• 最小真值的移码为全0，最大真值的移码为全1，符合人们的习惯。
• 当浮点数的阶码用移码来表示时，就能很方便地比较阶码的大小。

2.3.5 定点数的编码间的相互转化

原码和补码互为补码，补码的补码是原码

仅对数位值 从右到左 顺序扫描，右起第一个1及其右边的0保持不变，其余各位取反（也可以反过来从补码求原码）

【举例】

原码 $1,1011010$ 从右到左，也就是最右侧 $10$ 的部分不变，而剩下的数值位上的数字均取反，即 $10110$ 这部分取反，最后可得补码为 $1,0100110$

再者，若已知 $[x]_补$ 求 $[-x]_补$ ，则可以先将 全部位 按位取反，然后 末位加1

已知原码、反码、补码，如何算出真值（十进制形式）：

• 正数：
  将原码、反码、补码的数值位按权展开相加，符号位的0表示“+”。

• 负数：
  将反码、补码转换成原码，然后将原码的数值位按权展开相加，符号位的1表示“-”。

2.3.6 定点数的编码——习题课

【习题1】对真值0具有唯一表示形式的机器数是（ C ）

• A. 原码 B.补码和反码 C.移码和补码 D.以上都不对

0的数量 取决于机器字长

	原码	反码	补码	移码
[+0]	0,000…0	0,000…0	0,000…0	1,000…0
[−0]	1,000…0	1,111…1	0,000…0	1,000…0

【习题2】8位原码能表示的不同的数据的量是（ C ）

• A.127 B.128 C.255 D.256

8位原码应共有 $2^8$ 个组合，但0在原码中有[+0]和[-0]两种表示（见上题），算是重复的数据

【习题3】某机器字长为8位，机器码采用补码，则机器码所能表示的范围是（ B ）

• A. -127 ~ +127 B. -128 ~ +127 C. -128 ~ +128 D.以上都不对

补码（二进制）	十进制值	说明
0000 0000	0
0000 0001	+1
0000 0010	+2
0000 0011	+3
…	…
0111 1111	+127	最大值
1000 0000	-128	最小值
1000 0001	-127
1000 0010	-126
1000 0011	-125
…	…
1111 1111	-1

【习题4】若 $[x]_补 = 1,0110100$ , 则 $[x]_原$ 是（ D ）

• A. 0,1001011 B. 0,1001100 C. 1,1001011 D. 1,1001100

详见2.3.5的 原码<->补码 扫描法

【习题5】若 $[x]_补 = 1,0110100$ , 则 $x$ 是（ D ）

• A. +75 B. +76 C. -75 D. -76

先转化为原码，再将二进制原码转化为十进制数（注意第一位的符号位）

【习题6】设机器码采用补码形式，若寄存器内容为9BH，则对应的十进制数是（ C ）

• A. -27 B. -97 C. -101 D. 155

H表示为16进制数，即 $(9B)_{16}$

十六进制转为二进制，1个数转换成4个数

$9=1001$ $B=1011$

$[x]_补=10011011$ 则原码为 $1,1100101$

【习题7】假定十进制数为-66，按补码形式存放在一个8位寄存器中，该寄存器的内容用十六进制表示为（ B ）

• A. C2H B. BEH C. BDH D. 42H

【习题8】已知 $[x]_补 = 1,0110100$ , 则 $[-x]_补$ 是（ B ）

• A. 0,1001011 B. 0,1001100 C. 1,1001011 D. 1,1001100

详见2.3.5

【习题9】已知 $[x]_补=1,0000000$ , 则 $[-x]_补$ 是（ D ）

• A. 0,1111111 B. 0,0000001 C. 1,0000000 D. 无法表示

$x = -2^7=-128$ 所以$-x=128$

然而8位定点整数补码能表示的最大正数为$0,1111111 , 即127$ , 128无法用8位补码表示，结果溢出

若是用2.3.5的全取反再加1的方法，可得 $0,1111111 末位+1 = 1,0000000$ 成了正数相加为负数，结果溢出

【2015考研 题13】由3个1和5个0组成的8位二进制补码，能表示的最小整数是（ B ）

• A. -126 B. -125 C. -32 D. -3

首先要用一个1放在符号位取负，另外两个一，按照原码补码转换方法反向思考，将它们放到最低位，组成 $1,0000011$ , 接下来再转换，可得$[x]_原=1,1111101 = -125$

【2021考研 题13】已知带符号整数用补码表示，变量 $x,y,z$ 的机器数分别为 $FFFDH , FFDFH , 7FFCH$
下列结论中，正确的是（ D ）

• A. 若$x,y$和$z$为无符号整数，则 $z<x<y$

• B. 若$x,y$和$z$为无符号整数，则 $x<y<z$

• C. 若$x,y$和$z$为带符号整数，则 $x<y<z$

• D. 若$x,y$和$z$为带符号整数，则 $y<x<z$

无符号整数可以直接比较大小，$x>y>z$

带符号整数则要写成二进制形式：

$[x]_补 = FFFDH = 1,111 1111 1111 1101 转换后x=-3$

$[y]_补 = FFDFH = 1,111 1111 1101 1111转换后y=-33$

$[z]_补=7FFCH = 0,111 1111 1111 1100为正数$

【2022考研 题13】32位补码所能表示的整数范围是（ B ）

• A. $-2^{32}$ ~ $2^{31}-1$ B. $-2^{31}$ ~ $2^{31}-1$ C. $-2^{32}$ ~ $2^{32}-1$ D. $-2^{31}$ ~ $2^{32}-1$

以8位补码为例，最小值是 $-2^{8-1}$ 最大值是 $2^{8-1}-1$

2.4.1 浮点数的表示形式和表示范围

定点小数

┌──────┬──────┬──────┬──────┬─────┬──────┐
│ b₀   │ b₋₁  │ b₋₂  │ b₋₃  │ ... │ b₋ₙ  │
└──────┴──────┴──────┴──────┴─────┴──────┘
  ↑    ↑
符号位 小数点
     （b₀与b₋₁之间）
            
        |←────机器字长为n+1位 n个数值位 ────→|

定点数所能表示的 数据范围 与下列因素有关：

• 机器字长 ：字长越长，其表示的数据范围就越大
• 所采用的 机器码 ：补码和移码所能表示的数据范围，比原码和反码所能表示的数据范围 要多一个最小负数

实际上，计算机中处理的数 不一定都是纯小数或者纯整数 例如$\pi$ , 因此这样的数 不能直接 用定点数表示

浮点数表示

二进制浮点数可采用 类似十进制科学记数法 的表示方法

$110.0101= \begin{cases} 2^{10} \times 1.100101 \\ 2^{-1} \times 1100.101 \\ 2^{11} \times 0.1100101 \end{cases}$

其中底数（如2）是 基数r 在机器中是隐含约定的，不需要专门存储表示

指数（如10, 11)为二进制数，指数也就是 阶码E , 用 定点整数 表示

小数点后面的部分是 尾数M , 用 定点小数 表示

任意一个二进制数N可表示成如下形式 ：

$N=r^E \times M$

浮点数在机器中的表示形式

┌───────────────────────────────┬────────────────────────────────┐
│           阶码 E               │           尾数 M               │
├──────┬───────────────────────┼──────┬─────────────────────────┤
│  Ef  │ E₁  E₂  E₃  ...  Eₖ    │  Mf  │ M₁  M₂  M₃  ...  Mₙ     │
├──────┴───────────────────────┼──────┴─────────────────────────┤
│ 阶符     阶码的数值部分         │  数符      尾数的数值部分         │
└───────────────────────────────┴────────────────────────────────┘

阶码 ：

• 阶码的位数决定了数据表示的范围，位数越多，能表示的数据范围就越大。

• 阶码的值决定了小数点的位置。

• 阶码可采用原码、补码、反码、移码进行表示。

尾数 ：

• 尾数的位数决定了数据的表示精度。阶码长度相同时，分配给尾数的位数越多，数据表示的精度就越高。
• 尾数可采用原码、补码、反码进行表示。

【练习】

（1）设浮点数字长为8位，其中阶码3位（含1位阶符），尾数5位（含1位数符），阶码和尾数均以原码表示，基数r为8，则浮点数的最大最小值分别是多少？

（2）设定点数原码为8位，则定点数的最大最小值分别是多少？

（3）比较（1）（2）能得出什么结论？

（1）浮点数取最大值，即阶码取最大值，尾数取正数最大值
最大值= $8^{+3} \times (0.1111)_2 = 8^{+3} \times (0.9375) = +480$

浮点数取最小值，即阶码取最大值，尾数取负数最小值

最小值= $8^{+3} \times (-0.1111)_2 = -480$

（2）定点数最大值 = $+(2^7-1)=+127$

定点数最小值 = $-(2^7-1)=-127$

（3）浮点数有效扩大了数据表示范围

浮点数表示范围

尽管浮点数有效扩大了数据表示范围，但 受机器字长限制，浮点数仍然存在溢出现象

• 当浮点数的阶码大于最大阶码时，称为 上溢 ，此时机器 停止运算 ，浮点运算器件会显示溢出标志。
• 当浮点数的阶码小于最小阶码时，称为 下溢 ，虽然此时数据 不能被精确表示 ，但由于发生下溢时数据的绝对值很小，通常将尾数各位强置为0， 按机器0处理 ，此时机器可以 继续运行 。

当一个浮点数在正、负区域中但并不在某个数轴刻度上时，也会出现 精度 溢出的问题，此时只能用 近似数 表示

最小负数和最大负数之间是 负数区域 ，最小正数和最大负数之间是 正数区域

| 上溢 | 负数区域 | 下溢 | 0 | 下溢 | 正数区域 | 上溢 |

一旦浮点数的位数确定后，合理分配 阶码E 和 尾数M 的位数，直接影响浮点数的 表示范围 和 精度

• 短实数（32位）: 阶码E取8位（含1位阶符）尾数M取24位（含1位数符）
• 长实数（64位）: 阶码E取11位（含1位阶符）尾数M取53位（含1位数符）
• 临时实数（80位）: 阶码E取15位（含1位阶符）尾数M取65位（含1位数符）

【习题2】假设浮点数A和B的字长相同，A的阶码位数大于B的阶码位数，A的尾数位数小于B的位数位数，其他规定都相同，则A和B可表示的数的范围和精度是（ C ）。

A. B可表示的数的范围大且精度高

B. A和B可表示的数的范围和精度相同

C. A可表示的数的范围大但精度低

D. A可表示的数的范围大且精度高

【习题3】

某浮点数字长为12位，其中阶码4位（含1位阶符号），基数为2，尾数8位（含1位数符），若阶码和尾数都用补码表示，则该浮点数所能表示的最大正数是（ D ）。

A. $2^8$ B. $2^8−1$ C. $2^7$ D. $2^7−1$

最大正数：$2^{(2^3-1)} \times (1-2^{-7}) = 2^7 - 1$

阶码数值位是3位，尾数数值位是7位

2.4.2 浮点数的规格化

通常要求浮点数在数据表示时 对尾数进行规格化处理 ，即 使得尾数的最高数值位必须是一个有效值 。

浮点数规格化有以下好处：

• 使浮点数的表示 形式唯一
• 使浮点数的表示 精度最高

对于非规格化尾数，需要对其进行 规格化操作 ，即根据具体形式通过将非规格化 尾数的数值部分 进行 左移或右移 ，并 相应减少或增加阶码值 的操作进行规格化，对应的规格化方法分别称为向左规格化（简称 左规 ）和向右规格化（简称 右规 ）。

对于 基数r不同的浮点数 ，因其 规格化数的形式不同 ，规格化 过程也不同 。

• 当 r = 2 时，尾数 数值部分最高位为1 的数为规格化数。

  • 左规：尾数数值部分 每左移1位，阶码减1 。

  • 右规：尾数数值部分 每右移1位，阶码加1 。

  • 【举例】二进制浮点数 $110.0101$

    非规格化表示： $2^{100} \times 0.01100101$ 阶码数减1，尾数小数点左移1位

    规格化表示： $2^{11} \times 0.11001010$

• 当 r = 4 时，尾数 数值部分最高2位不全为0 的数为规格化数

  • 左规：尾数数值部分每左移2位，阶码减1。
  • 右规：尾数数值部分每右移2位，阶码加1。

• 当 r = 8 时，尾数 数值部分最高3位不全为0 的数为规格化数。

  • 左规：尾数数值部分每左移3位，阶码减1。
  • 右规：尾数数值部分每右移3位，阶码加1。

基数r不同，对数的 表示范围和精度等都有影响 ，一般来说：

• 基数r越大 ，可表示的 浮点数范围越大 ，而且所表示的数的 个数越多 ，但浮点数的 精度反而下降

【举例】

第二行为基数r=16的浮点数的尾数规格化

第三行为基数r=2的浮点数的尾数规格化

可见基数r=2时，比r=16时多3位精度

浮点数规格化后的表示范围

相较于2.4.1，最小负数和最大正数不变

最大负数变为： $2^{-(2^k-1)} \times (-2^{-1})$ 最小正数变为： $2^{-(2^k-1)} \times 2^{-n}$

【例题1】

设浮点数字长为16位，其中阶码5位（含1位阶符），尾数11位（含1位数符），将十进制数-56写成二进制定点数和浮点数（要求规格化表示），并分别写出它们各自的机器数（原码、反码、补码）形式。

设 $x=−56$

x 的二进制形式 $x=−111000$

x 的二进制定点数表示 $x=−0000111000$ (尾数有10位数值位，须补零)

x 的二进制浮点数规格化表示 $x=(−0.1110000000)×2^{110}$ (小数点应右移6位，因此乘2的6次方)

二进制定点数转换

$[x]_原=1,0000111000$

$[x]_反=1,1111000111$

$[x]_补=1,1111001000$

二进制浮点数转换

$[x]_原=0,0110;1,1110000000$

$[x]_反=0,0110;1,0001111111$

$[x]_补=0,0110;1,0010000000$

2.4.3 IEEE 754 浮点数标准

IEEE 754标准主要包括两种基本的浮点数格式：

• 32位单精度浮点数 （对应C语言的float型）

|<----------32bit---------->|
|                           |
|<-1bit->|<-8bit->|<-23bit->|
|      31|30    23|22      0|
|  符号   |  阶码  |   尾数   |

• 64位双精度浮点数 （对应C语言中的double型）

|<-----------64bit---------->|
|                            |
|<-1bit->|<-11bit->|<-52bit->|
|      63|62     52|51      0|
|  符号   |   阶码  |   尾数   |

其中：

• 符号 ：取值0表示正数；取值1表示负数。
• 阶码 ：定点整数，用 移码 表示。
• 尾数 ：定点小数，用 原码 表示。

IEEE 754 单精度浮点数的阶码

用移码来表示阶码的特点：

• 真值0在移码中只有一种表示。
• 移码保持了真值原有的大小顺序，可以直接比较大小。（不考虑移码的符号位 看作无符号二进制数）
• 最小真值的移码为全0，最大真值的移码为全1，符合人们的习惯。

在IEEE 754 浮点数标准中，32位单精度浮点数的 8位阶码尽管采用移码表示 ，但 **采用偏移常数是 $2^7-1=127$ ** ，而 **不是标准的 $2^7=128$ ** 。

为什么偏移常数不采用标准的128，而采用127？

• 将阶码全为1、全0的对应到最小的两个数-128和-127，有特殊用途
• 采用偏移常数128表示的最小规格化数的 倒数会发生溢出 ，而采用偏移常数127表示的任何一个规格化数的倒数则不会溢出。

IEEE 754 单精度浮点数的尾数

尾数的特点：

• 符号位前移到最左侧。相邻左侧隐藏一个1，表示数值而不表示符号。
• 尾数实际有24位，但不保存隐藏的那个1，只保存23位，节省的比特位可用于提高尾数的精度。
• 完整的尾数形式为1.M

IEEE 754 单精度浮点数标准

• 一般情况下，+0 和 -0 是等效的。
• 非规格化数可用于处理阶码下溢，使得出现比最小规格化数还小的数时程序也能继续进行下去。
• 引入无穷大数可使计算过程中出现异常的情况下程序能继续执行，并且可为程序提供错误检测功能。例如非0浮点数除0运算的结果就是无穷大，因此非0浮点数除0不会像整型数除0一样产生严重错误。
• 非数 $NaN$ 则用于表示 $0/0$、$+\infty$、$-\infty$、$0\times\infty$、负数的平方根等。部分非数 $NaN$ 运算结果可能会产生异常。

IEEE 754 单精度浮点数与对应真值之间的转换

【例题1】将十进制数 $408.6875$ 转换成 IEEE 754 单精度浮点数的十六进制机器码

$408.6875 = (110011000.1011)_2 = 2^8 \times 1.100110001011$

$符号位S = 0 表示正数，阶码E = 8 + 127 = 135 = 10000111，尾数M = 100110001011$

尾数不足23位则在后面补零

按四个一组进行二进制到十六进制的转换，即 $43CC5800$

【例题2】若 $C1830000$ 是某个IEEE 754单精度浮点数的十六进制机器码，求其对应的十进制值

将十六进制数转换为二进制数 $11000001100000110000000000000000$

符号S=1，阶码E=10000011，尾数M=00000110000000000000000

阶码的真值 $=阶码E-127=4$ ，尾数的1.M形式=1.0000011

浮点数的真值 $= (-1)^S \times 2^x \times 1.M = (-1)^1 \times 2^4 \times 1.0000011 = -10000.011 = -16.375$

IEEE 754 单精度浮点数的表示范围

【2012考研 题14】float类型能表示的最大正整数是（ D ）

A. $2^{126}-2^{103}$ B. $2^{127}-2^{104}$ C. $2^{127}-2^{103}$ D. $2^{128}-2^{104}$

根据上表的推导公式 $2^{127} \times (2 - 2^{-23})$ 进行化简可知 $=2^{128}-2^{104}$

【2021考研 题14】下列数值中，不能用IEEE 754浮点格式精确表示的是（ A）

A. 1.2 B. 1.25 C. 2.0 D. 2.5

将这些十进制数转换为二进制数会发现 $1.2 = (1.001100110011...)_2$ 是无限循环的，而IEEE 754浮点数格式位数有限，无法精确表示无限循环小数

3.1.1 逻辑移位

• 逻辑移位的对象： 无符号数

• 逻辑移位的规则：

  • 逻辑左移 ：高位移除，低位补零

  • 逻辑右移 ：低位移除，高位补零

【举例】假设某寄存器的内容如下所示，请给出逻辑左移3位和逻辑右移1位的结果

逻辑左移3位后，即高位移除了1,0,1，低位补3个0

逻辑右移1位后，即低位移除了0，高位补1个0

3.1.2 算术移位

• 算术移位的对象： 有符号数 （针对定点数，包括定点整数和定点小数）

• 不论正数还是负数， 符号位保持不变，仅对数值位进行移位 （左移或右移）。

• 对真值的原码、反码和补码进行算术移位后，它们各自所对应的新的真值应该保持一致。

  • 当真值为 正数 时，真值的 原码、反码和补码都相同 ，因此，对它们进行算术移位后，它们各自所对应的新的真值自然是保持一致的。对于 移位后出现的空位，规定添补0 。左移时，若最高位丢1，则 结果出错 ；右移时，若最低位丢1，则 精度缺失 。

  • 当真值为 负数 时，真值的 原码、反码和补码都不同 ，因此，对它们进行算术移位后，为了确保它们各自 所对应的新的真值保持一致 ，对于 移位后出现的空位，添补规则各不相同 ，我们稍后推导给出它们各自具体的添补规则。

    • 真值	机器码	空位填补	丢位情况	算术移位效果
      正数	原码=补码=反码	0	最高位丢1，结果出错 最低位丢1，精度缺失	在未出现因丢位产生结果出错或精度缺失的情况下： ● 左移：乘以 $2^n$ ● 右移：除以 $2^n$ 其中，$n$ 为移位次数。
      负数	原码	1	最高位丢0，结果出错 最低位丢0，精度缺失
      	反码	1	最高位丢0，结果出错 最低位丢0，精度缺失
      	补码	左移补0	最高位丢0，结果出错
      	补码	右移补1	最低位丢1，精度缺失

【练习1】假设机器数字长为8位（含1位符号位），若真值 $x=+52$，请写出 $x$ 的补码算术左移1位、2位后的表示形式以及对应的真值 $a$ , $b$ ，并对移位结果进行分析。

$[x]_{\text{原}} = [x]_{\text{反}} = [x]_{\text{补}} = 0,0110100$

$b_7$ 为符号位

下面三行分别为补码、算术左移1位、算术左移2位

可见，左移1位高位丢0，相当于乘以 $2^1$ ，而左移2位后，高位丢01，含1，所以 结果出错

【练习2】假设机器数字长为8位（含1位符号位），若真值 $x = +52$，请写出 $x$ 的反码算术右移1位、2位、3位后的表示形式以及对应的真值 $a$、$b$、$c$，并对移位结果进行分析。

$x = +52 = (+110100)_2$

$[x]_{\text{原}} = [x]_{\text{反}} = [x]_{\text{补}} = 0,0110100$

下面四行分别为反码、算术右移1位、算术右移2位、算术右移3位

可见，右移1位和右移2位时，都是低位丢0，相当于除以 $2^1$ 和 $2^2$

而右移3位，结果发生变化，并非除以了 $2^3$ ，精度缺失 $2^{-1}$

【练习5】假设机器数字长为8位（含1位符号位），若真值 $x = -26$，请写出 $x$ 的补码算术左移1位、2位、3位后的表示形式以及对应的真值 $a$、$b$、$c$，并对移位结果进行分析。

$[x]_补=1,1100110$

下面四行分别为补码、算术左移1位、左移2位、左移3位

根据补码的计算方式（或者说形式）可知，高位（左侧部分）和反码一样，低位（右侧部分）和原码一样，所以说左移的规则同反码，右移的规则同原码。

可见，左移1位和2位，分别是高位丢1，和高位丢11，也就是乘以 $2^1$ 和 $2^2$ ， 左移3位时，高位丢110，含0，结果出错

补码的“符号位参与”移位法

有符号定点数的补码的另一种算术移位方法，即“符号位也参与移位”，具体规则如下：

• 左移：高位移除，低位添补0；移动前后 若符号位发生变化，则发生溢出 。
• 右移：低位移除， 高位添补符号 （0或1）

上述这种针对有符号定点数的补码的算术移位方法，具有以下优点：

• 左移时，有检测出发生溢出的方法：符号位发生变化可判定溢出。

• 符号位与数值位一起移位， 方便ALU处理 ，也方便人们记忆。

【举例】假设机器数字长为8位（含1位符号位），若真值 $x = +26$，请写出 $x$ 的补码算术右移1位、2位后的表示形式以及对应的真值 $a$、$b$，并对移位结果进行分析。

$x = +26 = (+11010)_2$ $[x]_{\text{补}} = 0,0011010$

下面三行分别为补码、算术右移1位、右移2位

高位补符号0

【练习9】假设机器数字长为8位（含1位符号位），若真值 $x = -26$，请写出 $x$ 的补码算术左移1位、2位、3位后的表示形式以及对应的真值 $a$、$b$、$c$，并对移位结果进行分析。

$x = -26 = (-11010)_2$ $[x]_{\text{补}} = 1,1100110$

题目同练习5，方法不同。左移3位时，发现符号位由1变0，即为发生溢出

算术移位的应用举例

假设 $x=-26$ ，仅用 加法和算术移位 操作计算 $x \times 3$

$[x]_补=(1,1100110)_2$

对 $[x]_补$ 算术左移1位可得其乘以2的结果，然后将 $[x]_补$ 和 $2 \times [x]_补$ 相加即可

【2018考研 题16】整数 $x$ 的机器数为 $1101\ 1000$，分别对 $x$ 进行逻辑右移1位和算术右移1位操作，得到的机器数各是（ B ）。

A. 1110 1100、1110 1100
B. 0110 1100、1110 1100
C. 1110 1100、0110 1100
D. 0110 1100、0110 1100

• 逻辑右移1位：将其当作无符号数，高位补0，结果为 $0110\ 1100$
• 算术右移1位：将其当作有符号数，则机器数 $1101\ 1000$ 就是 $x$ 的补码，高位补符号位（原最高位为1），结果为 $1110\ 1100$

3.1.3 循环移位

• 循环移位的对象：无符号数
• 将无符号数二进制形式中的各个位向左或向右移动， 被移出的位会重新出现在另一端，形成循环 。
• 在很多处理器架构中，循环移位指令会影响状态寄存器中的进位标志CF（Carry Flag）位，CF标志位用于标识在执行算术或逻辑移操作时是否发生了进位。
• 根据 CF标志位是否加入循环移位 过程，循环移位可分为以下四种：
  • 不带CF标志位的循环右移
  • 不带CF标志位的循环左移
    （合称为小循环）
  • 带CF标志位的循环右移
  • 带CF标志位的循环左移
    （合称为大循环）

不带CF标志位的循环右移

最低位移出的值会存入最高位，CF标志位本身不存在于循环右移中，CF位的值为最低位移出的值

第三行为循环右移一次的结果，CF标志位此时的值为 $x_0$

不带CF标志位的循环左移

基本同上。最高位移出的值会存入最低位，CF位的值位最高位移出的值

带CF标志位的循环右移

寄存器中的值整体向右移动（包括CF位），最低位移出的值会存入CF位，CF位移出的值会存入最高位（ $b_7$ ）

带CF标志位的循环左移

基本同上。寄存器中的值整体向左移动（包括CF位），最高位移出的值会存入CF位，CF位移出的值会存入最低位（ $b_0$ ）

循环移位的应用

• 循环移位的应用主要有：加密算法、哈希函数、优化算法
• 加密算法：通过循环移位可以实现数据的混淆和置换，增强加密算法的安全性。
• 哈希函数：通过循环移位可以用来改变输入数据的排列顺序，以产生不同的哈希值，有利于增强哈希函数的混淆性和扩散性。
• 优化算法：在某些算法中，循环移位可以用于优化性能和节省资源。例如，在图形处理和数字信号处理中，循环移位可以用于加速算法的执行。

3.2.1 补码加减法运算公式

• 经过第2章的学习可知，定点数（定点整数和定点小数）在计算机内部采用补码表示，原因如下：

  • 补码的符号位可以与数值位一起参加加运算。
  • 采用补码可将减法运算转换成加法运算。
  • 运算规则简单，易于实现。

• 补码加法和减法运算的公式如下：

  • $[A]_补+[B]_补=[A+B]_补$

  • $[A]_补-[B]_补=[A-B]_补=[A]_补+[-B]_补$ （$[-B]_补 = -[B]_补$)

【例题1】设 $x=0,0101\ y=0,0001$ , 求 $[x]_补+[y]_补$ 。

$[x]_补+[y]_补=[x+y]_补=0,0110$

【例题2】设 $x=-0,0101\ y=-0,0001$ , 求 $[x]_补+[y]_补$ 。

$[x]_补=1.1011\ [y]_补=1.1111$

$[x]_补+[y]_补=[x+y]_补=[-0,0110]_补=1,1010$

【例题3】设 $x=0,1011\ y=-0,0101$ , 求 $[x]_补+[y]_补$ 。

$[x]_补=0.1011\ [y]_补=1.1011$

$[x]_补+[y]_补=[x+y]_补=[0,0110]_补=0,0110$

3.2.2 补码加减法的溢出检测

• 计算机的字长是有限的，因此所能表示的数据范围也是有限的。
• 当运算结果超出所能表示的数据范围时，就会出现溢出（Overflow）。
  • 溢出会导致错误的运算结果。
  • 计算机系统设计人员必须要解决溢出的检测问题，以便在发生溢出时计算机能做出相应的处理

如图所示，两负数相加，舍去进位的模数后，结果变为正数，出现错误

两正数相加，舍去进位的模数后，结果变为负数，出现错误

（出现错误的原因并非计算过程中和模数 $2^n$ 有关的部分）

溢出检测

定点数补码加减运算判断溢出的方法主要有以下3种：

• 方法1：根据 操作数的符号位 与 运算结果的符号位 是否一致进行判断

  • 两个操作数 相加 时，当它们的 符号位相同 时，才 可能发生溢出

  • 若运算结果的符号位与原操作数的 符号位不同 ，则为 溢出

  • 由于采用补码可将减法运算转换成加法运算，因此不论作加法还是减法，只要 实际参加运算的两个操作数符号相同 ， 但运算结果的符号位与原操作数不同 ，即为 溢出 。

  • 

  • 操作数 $x$ 的符号位记为 $x_{n-1}$ 操作数 $y$ 的符号位记为 $y_{n-1}$ 运算结果 $s$ 的符号位记为 $s_{n-1}$
    溢出标志位 记为 $OF$ ， $OF=1$ 表示发生溢出。

  • $OF = x_{n-1} \cdot y_{n-1} \cdot \bar{s}_{n-1} + \bar{x}_{n-1} \cdot \bar{y}_{n-1} \cdot s_{n-1}$

• 方法2：根据运算过程中 最高数值位的进位 与 符号位的进位 是否一致进行判断

  • 
  • 

• 方法3：利用 变形补码 （具有2位符号位的补码）的符号位进位进行判断

  • 双符号位为 00 时，表示正数；
  • 双符号位为 01 时，表示正溢出；
  • 双符号位为 11 时，表示负数；
  • 双符号位为 10 时，表示负溢出；

【2009考研 题12】一个C语言程序在一台32位机器上运行。程序中定义了三个变量x，y和z，x和z为int型，y为short型。当x = 127，y = -9时，执行赋值语句z = x + y后，x，y和z的值分别是（ D ）。

A. $x=00000007FH，y=FFF9H，z=00000076H$

B. $x=00000007FH，y=FFF9H，z=FFFF0076H$

C. $x=00000007FH，y=FFF7H， z=FFFF0076H$

D. $x=00000007FH，y=FFF7H，z=00000076H$

y的补码可得为 FFF7H，z的真值由计算可得为118>0 所以符号位应为0

【2013考研 题14】某个字长为8位的计算机中，已知整型变量x和y的机器数分别为x补 = 11110100，y补 = 10110000。若整型变量 $z = 2x + y/2$ ，则z的机器数为（ A ）。

A. $1 1000000$
B. $0 0100100$
C. $1 0101010$
D. 溢出

将 $[x]_{\text{补}}$ 算术左移1位可得 $[2x]_补=1,1101000$ ：

• 高位移除，低位补0；
• 移动前后若符号发生变化，则发生溢出。

将 $[y]_{\text{补}}$ 算术右移1位可得$[y/2]_补=1,1011000$ ：

• 低位移除，高位补符号位。

相加，符号位进位的值为模数，应舍弃，符号位进位的值等于操作数，不溢出

$[z]_补=1,1000000$